يمكن تعريف الدائرة بأنها منحنى مغلق يتم رسمه من نقطة ثابتة تسمى المركز حيث تكون جميع النقاط الموجودة على المنحنى لها نفس المسافة من نقطة المركز، ويمكن إيجاد معادلة الدائرة بناءً على نقطة المركز، وذلك على النحو الآتي:
** إذا كانت نقطة المركز هي (ل، م) فإن معادلة الدائرة تعطى بالعلاقة الآتية:
(س – ل) 2 + (ص – م ) 2 = نصف القطر 2
** إذا كانت نقطة المركز هي نقطة الأصل أي (0، 0) فإن معادلة الدائرة تعطى بالعلاقة الآتية: س2 + ص2 = نصف القطر 2.
وفيما يلي مجموعة من الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد معادلة الدائرة.
أمثلة على إيجاد معادلة الدائرة
المثال الأول: ما هي معادلة الدائرة التي مركزها يساوي (1، 2)، ونصف قطرها يساوي 4 سم؟
الحل: لحل هذا السؤال نقوم باتباع الخطوات الآتية:
** نلاحظ أن مركز الدائرة هو (1، 2) وليس نقطة الأصل وبالتالي فإننا نستخدم العلاقة الآولى لمعادلة الدائرة وهي (س – ل)2 + (ص – م) 2 = نصف القطر 2
** بالتعويض في هذه العلاقة فإن معادلة الدائرة تساوي (س – 1) 2 + (ص – 2) 2 = 4 2
** بفك التربيع وترتيب الحدود فإن معادلة الدائرة هي: س2 + ص 2 – 2س – 4 ص – 11 = 0
المثال الثاني: ما هي معادلة الدائرة التي مركزها يساوي (2، 4)، ونصف قطرها يساوي 3 سم؟
الحل: لحل هذا السؤال نقوم باتباع الخطوات الآتية:
** نلاحظ أن مركز الدائرة هو (2، 4) وليس نقطة الأصل وبالتالي فإننا نستخدم العلاقة الآولى لمعادلة الدائرة وهي (س – ل)2 + (ص – م) 2 = نصف القطر 2
** بالتعويض في هذه العلاقة فإن معادلة الدائرة تساوي (س – 2) 2 + (ص – 4) 2 = 3 2
** وبالتالي فإن معادلة الدائرة تساوي (س – 2) 2 + (ص – 4) 2 = 9 ويمكن فك التربيع أو إبقائها على هذه الحال.
ملاحظة: يمكن فك التربيع باستخدام العلاقة الآتية (أ – ب )2 = أ 2 – 2 أ ب +
ب 2 حيث إن أ هو الحد الأول و ب هو الحد الثاني.
المثال الثالث: : ما هي معادلة الدائرة التي مركزها يساوي (0، 0)، ونصف قطرها يساوي 1 سم؟
الحل: لحل هذا السؤال نقوم باتباع الخطوات الآتية:
** نلاحظ أن مركز الدائرة هو نقطة الأصل (0، 0) وليس أي نقطة أخرى في المستوى الديكارتي وبالتالي فإننا نستخدم العلاقة الثانية لمعادلة الدائرة وهي
(س )2 + (ص) 2 = نصف القطر 2
** بالتعويض في هذه العلاقة فإن معادلة الدائرة تساوي س2 + ص2 = 1 2
** وبالتالي فإن معادلة الدائرة تساوي (س) 2 + (ص) 2 = 1
المراجع
https://www.varsitytutors.com/act_math-help/how-to-find-the-equation-of-a-circle
https://byjus.com/maths/equation-of-a-circle/
https://www.mathsisfun.com/algebra/circle-equations.html